Bilangan bulat

Bilangan bulat

Matematika  

Tentunya waktu Sekolah Dasar kita telah mengenal yang disebut dengan bilangan bulat, kali ini kita akan memahami dan mengulas kembali Bilangan Bulat dan Lambangnya, yaitu:

A. Bilangan Positif dan Bilangan Negatif

B. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat

 

Dari kedua hal yang akan kita bahas kali ini, ada baiknya kita mengulang kembali cerita semasa di sekolah dasar.  Di antaranya adalah bagaimana membilang banyak benda. Banyak benda tersebut kemudian dinyatakan dengan bilangn 0, 1, 2, 3, dan seterusnya seuai dengan banyak bendanya. Karena itu, bilangan 0, 1, 2, 3, ... disebut bilangan cacah. 

A. Bilangan Positif dan Bilangan Negatif

 

Apakah semua situasi dapat dilambangkan dengan bilangan cacah? sebagai contoh, dapatkah bilangan cacah digunakan untuk menjelaskan posisi seekor burung yang hinggap di puncak tiang layar sebuah perahu nelayan yang tingginnya 3 meter, dan posisi pemilik perahu tersebut yang sedang menyelam di kedalaman 3 meter?

Posisi 3 meter di atas permukaan laut dapat dilambangkan dengan +3, atau disingkat 3. Karena jarak 3 meter di atas permukaan laut sama dengan 3 meter di bawah permukaan laut, posisi 3 meter di bawah permukaan laut dilambangkan dengan -3 dibaca negatif 3. Keduanya dapat digambarkan pada sebuah garis bilangan vertikal (Gbr 1.a) dan horisontal (Gbr 1.b) seperti berikut:

Garis bilangan himpunan bilangan bulat digambarkan seperti berikut:

Contoh:

a. Tulislah bilangan bulat mulai -5 sampai dengan 4. 

    Penyelesaian:

    Bilangan bulat dari -5 sampai 4 adalah -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

    Penyelasaian:

    Bilangan bulat genap antara -6 dan 11 adalah -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10

b. Tulislah bilangan bulat genap antara -6 dan 11

    Kegiatan

    - Gambar garis bilangan untuk bilangan bulat

    - Bilangan berapakah yang letaknya di sebelah kanan 0 dan jaraknya sama dengan jarak dari 0 ke -4?

    - Berapakah hasil penjumlahan -4 dengan lawannya?

    - Berapa lawan dari 6?

    - Berapa lawan dari -5?

Tanpa melihat garis bilangan, sebutkan lawan dari 12

Tanpa melihat garis bilangan, sebutkan lawan dari -15

B. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat

Perhatikan 3 dan -3 pada garis bilangan berikut.

Berapa satuankah jarak dari 0 ke 3? Berapa satuankah jarak dari 0 ke -3? Dua bilangan disebut berlawanan apabila berjarak sama dari 0 para garis bilangan, tetapi arahnya berlawanan. Bilangan apalagi yang saling berlawanan?

Pada Garis Bilangan:

• Semakin ke kanan, nilai bilangan semakin besar.
• Semakin ke kiri, nilai bilangan semakin kecil nilai.

Contoh 2:

 -4 terletak di sebelah kanan -7, maka -4 > -7.
sumber

Rumus bangun datar

Rumus bangun datar

Matematika  

Rumus Persegi

Luas = Sisi (s)²

Keliling = Sisi (s) x 4

Rumus Persegi Panjang

Luas = Panjang (p) x Lebar (l)

Keliling = Panjang (p) x 2 + Lebar (l) x 2

Rumus Segitiga

Luas = ½ x Alas (a) x Tinggi (t)

Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A² + B² = C²)

Rumus Jajar Genjang

Luas = Alas (a) x Tinggi (t)





Rumus Trapesium

Luas = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi (t) 





Rumus Layang - Layang

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2





Rumus Belah Ketupat

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2





 
Rumus Lingkaran 

Luas = π (pi) x jari-jari (r)²

Rumus Teorema Phytagoras

Rumus Teorema Phytagoras

Matematika  

Dalam Segitiga siku-siku berlaku (teorema phytagoras):
Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat kedua sisi siku-siku

 

Rumus untuk mencari siku-siku adalah:

 

Contoh Soal:

 

Berapa Panjang sisi miring?

Jawab:

Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat kedua sisi siku-siku

anggap panjang sisi miring adalah x maka:

Nah, mudah bukan untuk mepelajari rumus Teorema Phytagoras. Mari mencoba dengan contoh soal lainnya

Tips dan Trik menghitung cepat

Tips dan Trik menghitung cepat

Matematika  

Trik Menghitung cepat ini merupakan trik dengan menggunakan dua angka dimana dengan menggunakan trik ini maka Anda dapat menegtahui hasil dari perkalian tersebut kuran lebih tiga detik. 

Contoh Pertama :

Misal perkalian 13 X 12 = ?
Penyelesaianya :
1. Jumlahkan angka 2 + 13 = 15

2. Itu merupakan 2 digit pertama jawaban akhir 15
3. Langkah berikutnya adalah, kalikan angka 3 x 2 = 6

4. Jadi hasil totalnya 156, jika diragukan, dapat cek dengan kalkulator

Contoh Kedua:

Misalnya 13X13=?

Penyelesaian :

1. Jumlahkan angka 3 + 13 = 16

2. Itu merupakan hasil dari 2 digit pertama yaitu 16

3. Langkah berikutnya adalah, kalikan angka 3 x 3 = 9

4. Jadi hasil totalnya adalah 169, jika anda meragukan... silahkan hitung kembali dengan kalkulator

Dari kedua contoh diatas, dapat disimpulkan untuk menambahkan angka dan mengkalikan angka, yaitu angka pertama tetap 2 digit seperti 13 pada contoh pertama yang ditambahkan angka 2 pada angka kedua lawan, penulisannya seperti 2 + 13 = 15, sedangkan untuk yang contoh kedua, yaitu 13 x 13= menggunakan metode yang sama yaitu angka kedua pada lawan ditarik kedepan menjadi 3 + 13 pada angka pertama maka hasilnya 16, dan angka kedua masing-masing dikalikan seperti 2 x 3 = 6 dan 3 x 3 = 9.

Kumpulan Trik Matematika

Kumpulan Trik Matematika

Matematika  

1. Mengalikan dengan 11

Kita semua tahu trik mengalikan sepuluh – letakkan 0 di ujung angka, tapi apakah Anda tahu bahwa ada trik yang mudah untuk mengalikan angka dua digit dengan 11? Ini dia:

Gunakan bilangan asli dan bayangkan spasi di antara dua digit (kali ini kita gunakan 52):

5_2

Sekarang tambahkan dua angka tersebut dan letakkan di tengah:

5_(5+2)_2

Inilah jawabannya: 572.
tua Bila angka di tengah lebih dari 2 digit (contohnya 18), tambahkan angka pertama (1) dengan angka di depannya:

9_(9+9)_9

9_18_9

(9+1)_8_9

10_8_9

1089, dan jawaban ini selalu benar.

2. Menghitung Kuadrat

Bila Anda perlu menghitung kuadrat dari sebuah angka 2 digit yang berakhiran 5, Anda dapat melakukannya secara mudah. Kalikan angka pertama dengan angka itu sendiri dan ditambah 1, dan letakkan ’25′ di akhir. Itulah dia!

252 = ( 2 x (2 + 1) ) & 25

2 x 3 = 6 & 25

625

3. Mengalikan dengan 5

Banyak orang mengingat tabel perkalian 5 dengan mudah (5, 10, 15, 20…), tapi ketika Anda menemukan jumlah yang lebih besar, maka caranya makin rumit – benarkah?.

Ambil sembarang angka, kemudian dibagi 2. Bila hasilnya utuh (bukan pecahan desimal), letakkan 0 di akhir. Bila berupa pecahan desimal, hilangkan angka di belakang koma dan letakkan 5 di akhir. Sudah terbukti:

2682 x 5 = (2682 / 2) & 5 atau 0

2682 / 2 = 1341 (bilangan utuh, jadi letakkan 0)

13410

Mari coba yang lain:

5887 x 5 = 2943.5 (bilangan pecahan (hilangkan sisanya, letakkan 5)

29435

4. Mengalikan dengan 9

Yang satu ini sederhana- untuk mengalikan angka berapapun antara 1 dan 9 dengan 9, perlihatkan telapak tangan di depan Anda – tutup satu jari yang merupakan angka yang hendak dikalikan (contohnya: 9 x 3 – tutup jari ketiga Anda) – hitung jumlah jari di depan jari yang ditutup (kalau 9 x 3, maka ada 2 jari di depan), kemudian hitung jumlah di belakangnya (kalau 9 x 3, ada 7 jari di belakang) – maka jawabannya 27.

5. Mengalikan dengan 4

Ini merupakan trik yang paling sederhana yang terlihat asing bagi beberapa orang, tapi tidak bagi yang lain. Trik ini hanya mengalikan dengan dua, kemudian melakukannya lagi:

58 x 4 = ( 58 x 2 ) + ( 58 x 2 ) = ( 116 ) + ( 116 ) = 232

6. Menghitung Tip

Bila Anda perlu meninggalkan tip sebesar 15%, inilah cara mudah melakukannya. Hitung 10% (bagi jumlah tersebut dengan 10) – kemudian tambah dengan jumlah tersebut lagi, tapi dibagi dua, dan Anda akan menemukan jawabannya:

15% of $25 = ( 10% dari 25 ) + ( (10% dari 25 ) / 2)

$2.50 + $1.25 = $3.75

7. Perkalian Rumit

Kalau Anda punya jumlah besar untuk dikalikan dan salah satu angkanya genap, Anda dapat membaginya dengan mudah untuk mendapat jawabannya:

32 x 125, sama dengan:
16 x 250 sama dengan:
8 x 500 sama dengan:
4 x 1000 = 4.000

8. Membagi dengan 5

Membagi jumlah besar dengan lima sebenarnya sangat mudah, yang perlu Anda lakukan adalah mengalikannya dengan 2 dan pindahkan pecahan desimalnya:

195 / 5 ?

Tahap 1: 195 * 2 = 390
Tahap 2: Pindahkan desimalnya: 39.0 atau hanya 39

2978 / 5 ?

Tahap 1: 2978 * 2 = 5956
Tahap 2: 595.6

9. Mengurangi dari 1.000

Untuk mengurangi jumlah besar dari 1.000, Anda dapat memakai aturan dasar ini: kurangi semuanya kecuali angka terakhir dari 9, kemudian kurangi angka terakhir dari 10:

1000 - 648 ?

Tahap 1: kurangi 6 dari 9 = 3
Tahap 2: kurangi 4 dari 9 = 5
Tahap 3: kurangi 8 dari 10 = 2

Jawaban: 352

10. Aturan Perkalian Acak

Mengalikan dengan 5: Kalikan dengan 10 dan bagi dengan 2.
Mengalikan dengan 6: Kalikan dengan 3 dan kemudian kalikan dengan 2.
Mengalikan dengan 9: Kalikan dengan 10 dan kurangi dengan jumlah aslinya.
Mengalikan dengan 12: Kalikan dengan 10 dan tambahkan dengan 2 kali lipat jumlah aslinya.
Mengalikan dengan 13: Kalikan dengan 3 dan tambahkan dengan 10 kali lipat jumlah aslinya.
Mengalikan dengan 14: Kalikan dengan 7 dan kemudian kalikan dengan 2
Mengalikan dengan 15: Kalikan dengan 10 dan tambahkan dengan 5 kali lipat jumlah aslinya.
Mengalikan dengan 16: Kalikan dengan 8 dan kemudian kalikan dengan 2.
Mengalikan dengan 17: Kalikan dengan 7 dan tambahkan dengan 10 kali lipat jumlah aslinya.
Mengalikan dengan 18: Kalikan dengan 20 dan bagi dengan 2 kali lipat jumlah aslinya (beda dengan tahap pertama).
Mengalikan dengan 19: Kalikan dengan 20 dan kurangi dengan jumlah aslinya.
Mengalikan dengan 24: Kalikan dengan 8 dan kalikan dengan 3.
Mengalikan dengan 27: Kalikan dengan 30 dan kurangi 3 kali lipat jumlah aslinya (beda dengan tahap pertama).
Mengalikan dengan 45: Kalikan dengan 50 dan kurangi 5 kali lipat jumlah aslinya (beda dengan tahap pertama).
Mengalikan dengan 90: Kalikan dengan 9 (seperti di atas) dan letakkan nol di sebelah kanan.
Mengalikan dengan 98: Kalikan dengan 100 dan kurangi dengan jumlah aslinya.
Mengalikan dengan 99: Kalikan dengan 100 dan kurangi dengan jumlah aslinya.

Bonus: Persentase

Cari 7 % dari 300. Terdengar sulit?

Persen: Pertama, Anda harus paham kata “Persen”. Bagian pertama adalah PER = UNTUK SETIAP. Bagian kedua adalah SEN = 100. Seperti Century (abad) = 100 tahun. 100 SEN adalah 1 dolar… dll. Jadi PERSEN = UNTUK SETIAP 100.

Jadi, pertanyaannya ialah 7 PERSEN dari 100, jawabannya 7. (7 untuk setiap seratus (persen) dari seratus (100)).
8 % dari 100 = 8. 35.73% dari 100 = 35.73
Tapi bagaimana bisa??

Kembali ke pertanyaan 7% dari 300. 7% dari seratus pertama adalah 7. 7% dari seratus kedua juga 7, dan tentunya 7% dari seratus ketiga juga 7. Jadi 7+7+7 = 21.

Bila 8 % dari 100 adalah 8, maka 8% dari 50 adalah setengah dari 8, yaitu 4.

Bagi setiap jumlah yang masuk dalam pertanyaan 100 yang jumlahnya kurang dari 100, kemudian pindahkan titik desimalnya.

CONTOH:
8% dari 200 = 8 + 8 = 16
8% dari 250 = 8 + 8 + 4 = 20
8% dari 25 = 2.0 (pindahkan desimalnya)
15% dari 300 = 15 + 15 + 15 = 45
15% dari 350 = 15 + 15 + 15 + 7.5 = 52.5

Hal ini juga dapat digunakan untuk memutarbalikkan persen, contohnya 3% dari 100 = 100% dari 3.

35% dari 8 = 8% dari 35.

…dan lainnya.

Teori Himpunan Matematika

Teori Himpunan Matematika

Matematika  

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas.

Contoh :




Cara menyatakan himpunan
1. Deskripsi (kata-kata)
2. Mendaftar anggota-anggotanya
3. Notasi pembentuk himpunan

Keanggotaan himpunan atau elemen

Setiap benda yang terdapat dalam suatu himpunan bilangan, hanya dapat dinyatakan dengan cara menentukan anggota-anggota himpunan, dengan simbol "elemen" = "anggota dari"

Contoh :

A himpunan 5 anggota bilangan prima yang pertama

A = { 5 bilangan prima yang pertama } = {2,3,5,7,11}












atau { } Himpunan kosong

Dari himpunan-himpunan atau dari tiap-tiap himpunan ada himpunan kosong

contoh :

A = { 2,3,4,5 }




B = { 6,7,8,9 }




Himpunan semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan, dengan simbol "S"

Contoh :


S = { 1,2,3,4,5, . . . , 20 }

A = { 5,6,7,8,9 }

B = { 8,9,10,11,12,13 }



Himpunan bagian

adalah rumus Untuk menyatakan himpunan bagian. 

Jenis Himpunan 

Operasi Himpunan

 

Diagram Venn

 

Rumus lingkaran dan bagian lingkaran

Rumus lingkaran dan bagian lingkaran

Matematika  

Kali ini Rumus Matematika akan membahasa Bagian-bagian lingkaran dan rumus-rumusnya, yang perlu kita fahami terlebih dahulu adalah Unsur-unsur Lingkaran

dari gambar terlihat bahwa panjangnya diameter ( d ) sama dengan 2 kali jari-jari ( r ) lingkaran.

AB = OA + OB

sehingaga berlaku hubungan antara diameter dan jari-jari lingkaran :

Keliling dan Luas Lingkaran

Keliling Lingkaran ( K ) :

Keliling lingkaran biasanya juga dihubungkan dengan jarak tempuh suatu lingkaran / roda yang berputar.
hubungan antara jarak tempuh ( s ), keliling lingkaran ( K ) dan banyak putaran ( n ) adalah :

Luas Lingkaran ( L ) :

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal di bawah ini :

Hitunglah keliling dan luas daerah yang diarsir di bawah ini....

 

untuk menghitung keliling pada prinsipnya adalah menghitung panjang garis tepi suatu bidang.

( i ) K = K¹/₂O + K¹/₂O + 28 + 28 = K O + 56 = π d + 56 = ²²/₇ . 14 + 56 = 100 cm


( ii ) K = K ¹/₄O + 10 + 10 = ¹/₄. 2 . π . r + 20 = ¹/₄. 2 . 3,14.10 + 20 = 15,7 + 20 = 35,7 cm

( iii ) K = K ¹/₂O + 21 + 21 + 21 = ¹/₂ π d + 63 = ¹/₂ ²²/₇ . 21 + 63 = 96 cm

( iv ) K = K ¹/₂Obesar + K¹/₂Okecil + K¹/₂Okecil  = K¹/₂Obesar + KOkecil
           = ¹/₂ π d1 + π d2 = ¹/₂ .3,14.20 + 3,14.10 = 62,8 cm



( i ) L = L persegi panjang - L¹/₂O - L¹/₂O = p.l - L O = 28.14 - ¹/₄.²²/₇ .14² = 238 cm²

( ii ) L = L ¹/₄O = ¹/₄ . π . r² = ¹/₄.3,14.10² = 78,5 cm²

( iii ) L = L persegi + L¹/₂O = s² + ¹/₂ .¹/₄ π d² = 21² +  ¹/₂. 1/_4. ²²/₇ . 21² = 614,25 cm²

( iv ) L = L ¹/₂Obesar - L¹/₂Okecil + L¹/₂Okecil  = L¹/₂Obesar = ¹/₂ .¹/₄ .3,14.20² = 157 cm²


bagaimana....   sudah ada gambaran tentang materi lingkaran ini ?
 Jika sudah Coba kerjakan soal tentang luas lingkaran di bawah ini...

Gimana ? ada masalah ? klo masih bingung saya kasih caranya... jadi kalian tinggal menghitung luasnya...

( a ). bidang yang pertama tidak ada masalah kan? ya.. rumusnya : L = Lpersegi - L¹/₄O

(b ). bidang yang kedua ada hubungannya dengan bidang yang pertama... coba kalian perhatikan sebenarnya luas bidang yang kedua ini sama dengan dua kali luas bidang yang pertama sehingga  L = ( Lpersegi - L¹/₄O ) . 2

( c ). bidang yang ketiga juga ada hubungannya dengan bidang yang kedua... yaitu luas persegi dikurangi luas bidang yang kedua... Hmm.. tapi klo merasa rumit.. juga bisa dicari dengan cara L = L¹/₂O - Lpersegi 

biar lebih jelas... kalian praktekkan sendiri dengan membuat 2 buah bidang seperempat lingkaran... kemudian tumpang tindihkan seperti bidang yang ke tiga... bagian yang diarsir merupakan bagian yang saling tumpang tindih...yang luasnya sama dengan 2 kali luas seperempat lingkaran dikurangi luas persegi...

Perbandingan Keliling dan Luas Lingkaran dengan Jari-jarinya

Jadi jika ditanyakan luas lingkaran yang diketahui perbandingan jari-jari dengan lingkaran lain yang telah diketahui luasnya Kita tidak perlu mencari panjang jari-jarinya terlebih dahulu.... cukup dengan rumus perbandingan di atas.... 

Sebuah lingkaran mempunyai luas 100 cm², jika jari-jarinya diperbesar menjadi 2 kali maka luasnya menjadi?

 


dikali silang jadinya....